[세계 수학사 中] 유클리드의 '원론'

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그리스에서 -600년 무렵부터 축적된 수학의 연구 결과들이 -4세기 초에 명확 한 공리에 근거해서 연역적으로 조직되기 시작했다. 이것의 마지막 형태가 -300년 무렵에 유클리드가 쓴 <원론>에 제시됐다. 이것 이전에 히포크라테스를 비롯한 세 사람이 쓴 원론도 있었다고 한다. 이것들을 제치고 유클리드의 <원론>이 남았 다. 유클리드는 <원론>뿐만 아니라 광학, 천문학, 음악, 역학, 원뿔곡선과 같은 여 러 분야의 저작을 약 12권이나 썼다. 이런 점에서 본다면 그는 그때까지의 그리스 수학을 모두 모아 편집하려고 했던 것으로 생각된다.

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<원론>에는 전체를 관통하는 구조가 부여되고 있는데, 이것은 그가 직접 했을 것이다. 몇 가지 명제와 증명은 그가 보충한 것 같다. 유클리드는 두 가지 중요한 혁신을 일으켰다.

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첫째로 그는 이전의 수학자와 달리 어떤 정리가 참이라고 주장만 하지 않고 수학적 증명의 개념으로 입증했다. 그는 이미 참으로 받아들여진 명제들로부터 일련의 논리적 과정을 거쳐 추론된 결과(명 제)만 참으로 인정했다.

 

 

둘째로 그는 맨 처음에는 증명이 필요 없는(또는 증명할 수 없는) 어떤 명제들로부터 시작되어야 함을 알았다. 그는 정의, 5개의 공준, 5개의 공통 개념을 제시하고, 이어서 명제들이 논리적으로 유도되도록 체계를 갖춰 구성하고 차례로 증명했다. 또한 어떤 증명도 그 과정에서 증명하고자 하는 것을 이용해서는 안 된다는 것에 주의했다. ​

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<원론> 전13권의 주요 내용은 다음과 같다. 첫 여섯 권은 초등 평면기하학, 다음 세 권은 수론, 다음 한 권은 통약불가능량, 마지막 세 권은 주로 입체 기하학을 다 루고 있다. 주요 내용을 바탕으로 좀 더 세분하면 제1권은 다각형과 피타고라스 정리, 제2권은 기하학적 대수학, 제3권은 원과 직선, 중심각과 원주각, 제4권은 원 과 내외접하는 정다각형, 제5권은 크기의 비(례)를 포함한 크기의 일반 이론, 제6권 은 닮은꼴 도형, 제7권은 수의 비(례)와 유클리드 호제법, 제8권은 등비수열, 제9권 은 소수와 소인수분해, 등비수열의 합, 제10권은 통약불가능량의 분류, 제11권은 삼차원의 기하학적 대상, 제12권은 곡선 도형의 넓이와 곡면 도형의 부피를 다룬 착출법, 제13권은 정다면체와 구를 다루고 있다.

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유클리드 이후로 <원론> 또는 그것의 일부를 배우는 것은 교양교육의 필수가 되었다. -3세기의 뛰어난 수학자인 아르키메데스 와 아폴로니오스의 저작들이 공리 연역적으로 쓰였다는 데서도 그것의 영향을 볼 수 있다.

한편, <원론>의 기술 형식은 현대 수학의 원형으로 여겨지고 있기도 하다.

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[발췌; 시대와 내용별로 기록한 세계 수학사(상)]

 

 

 

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