유클리드의 기하학 공리란?

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유클리드의 공리 (Euclid's Postulate)

 

  

기하학(幾何學)이라 하면 그 의미를 알기 어렵지만, 그 영어인 geometry(땅을 측량함)를 알면 금방 이해가 간다. 중학교에 입학하면 수학의 한 분야인 기하학을 배우기 시작하는데, 시작 부분은 전부 유클리드가 연구한 내용이다.

 

고대 이집트나 그리스 등지에서는 토지를 측량하는 일이 매우 중요했다. 특히 그리스인은 수학을 통해 자연을 이해하려 한 사람들이다.

 

유클리드(Euclid, BC 325-BC 265)는 아테네에서 탄생했으며, 알렉산드리아에 수학 학교를 세워 직접 교수가 되었다. 그러나 그의 생애는 잘 잘려지지 않았다. 기원전 300년경에 그는 연구 결과를 모아 <원론>(原論 Element's, Stoikheia)이라는 책을 편찬했다. 이후 그의 저서 <원론>은 역사상 가장 많이 읽힌 책의 하나가 되었으며, 2,000년 이상 기하학의 교과서가 되어 왔다.

 

1. 점과 점 사이를 연결하는 직선은 하나뿐이다.

 

2. 직선은 양쪽으로 얼마든지 연장할 수 있다.

 

3. 임의(任意)의 점에서 어떤 길이이든 반지름으로 하여 원을 그릴 수 있다.

 

4. 모든 직각의 각은 모두 같은 직각이다.

 

5. 전체는 부분보다 크다.​

 

6. 두 직선이 나란하면 만나지 않는다. 그러나 두 선이 다른 한 선과 만났을 때, 내각(內角)의 합이 180도보다 작으면, 이 두 직선을 연장할 때 직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다 (아래 그림 참조).

 

 

위의 내용들을 유클리드의 공준(公準) 또는 공리(公理, Uclid's Postulate 또는 Axiom)라고 하는데, 이들은(6번을 제외하고) 증명이 필요치 않은 너무나 당연한 사실이다. 수학 시간에 자주 나오는 정의(定義), 공준(公準), 공리(公理)와 같은 용어를 처음 들으면 무슨 의미인지 어렵게 느낀다. 공준이라든가 공리는 ‘명백한 원리’를 의미한다. 유클리드는 점, 선, 원. 직각에 대한 23가지 정의를 비롯하여, 위와 같은 공리와 개념을 기초로 465가지 정리를 증명했다.

 

유클리드와 동시대의 톨레미 왕(Ptolemy I) 사이에 있었던 유명한 일화(逸話)가 전래되고 있다. 유클리드에게 기하학을 배우던 톨레미 왕은 “모든 공리들을 익히지 않고 기하학을 쉽게 배우는 방법이 있습니까?” 하고 묻자, 유클리드는 “기하학에는 왕도(王道 royal road)가 없습니다.”고 대답했다는 것이다.

 

* 비유클리드 기하학이란?

 

유클리드의 기하학은 평면이나 찌그러짐이 없는 공간에서 증명된다. 그러나 17세기에 말에 절대 불변으로 알아 온 제5의 ‘평행선 공리’가 부정될 수 있음을 알게 되면서 ‘비유클리드 기하학’이 발달하기 시작했다. 비유클리드 기하학은 말안장 따위의 휘어진 곡면이나 공간처럼, 유클리드 기하학으로 증명되지 않는 분야의 모든 기하학을 말한다. 

 

 

 

 

두 선이 3번째 선과 만났을 때, 두 선과 만드는 각이 직각보다 작거나 크면 직각보다 작은 쪽으로 반드시 만난다.

 

 

아리스토텔레스의 4원소설